Question

【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分別是CC1 ， BC的中點，AE⊥A1B1 ， D為棱A1B1上的點．

（1）證明：AB⊥AC；
（2）證明：DF⊥AE；
（3）是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ？若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，

又∵AA1⊥AB，AA1∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1．

又∵AC面A1ACC1，∴AB⊥AC

（2）證明：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，

則有 ，

設 且λ∈（0，1），

即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），則D（λ，0，1），∴ ，

∵ ，∴ ，所以DF⊥AE

（3）解：結論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，理由如下：

由題可知面ABC的法向量 ，設面DEF的法向量為 ，

則 ，

∵ ，

∴ ，即 ，

令z=2（1﹣λ），則 ．

∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ，

∴ = ，

即 = ，

解得 或 （舍），

所以當D為A1B1中點時滿足要求．

【解析】（1）根據線面垂直的性質定理證明AB⊥面A1ACC1 ． 即可．（2）建立空間坐標系，求出直線對應的向量，利用向量垂直的關系進行證明．（3）求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．