Question

【題目】已知橢圓C：x2+4y2=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓C的長軸的兩個端點分別為A，B，點P在直線x=1上運動，直線PA，PB分別與橢圓C相交于M，N兩個不同的點，求證：直線MN與x軸的交點為定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的標準方程： ，

則a=2，b=1，則c= ，

∴橢圓的離心率e= =

（2）證明：∵橢圓C的左，右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，

∴A（﹣2，0），B（2，0），設P（1，t），

則kPA= = ，直線PA：y= （x+2），

聯立得： 整理，得（4t2+9）x2+16t2x+16t2﹣36=0，

﹣2xM= ，則xM= ，yM= （xM+2）= ，

則M（ ， ），

同理得到N（ ， ）

由橢圓的對稱性可知這樣的定點在x軸，

不妨設這個定點為Q（m，0），

又kMQ= ，kNQ= ，

∵kMQ=kNQ，

∴（8m﹣32）t2﹣6m+24=0，m=4．

∴直線MN經過一定點Q（4，0），

直線MN與x軸的交點為定點Q（4，0）．

【解析】（1）求得橢圓的標準方程，則a=2，b=1，則c= ，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓C的離心率；（2）設P（1，t），由已知條件分別求出M，N的坐標，設定點為Q，再由kMQ=kNQ，能證明直線MN經過一定點Q（4，0）．