Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點E，F分別為AB和PD中點． （Ⅰ）求證：直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：作FM∥CD交PC于M． ∵點F為PD中點，
∴ ．
∵點E為AB的中點．
∴ ，
又AE∥FM，
∴四邊形AEMF為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF平面PEC，EM平面PEC，
∴直線AF∥平面PEC．

（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
進一步求得：DE⊥DC，
則：建立空間直角坐標系，
則 P（0，0，1），C（0，1，0），E（ ，0，0），
A（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0）．
所以： ， ．
設平面PAB的一個法向量為： ，．
∵ ，
則： ，
解得： ，
所以平面PAB的法向量為：
∵ ，
∴設向量 和 的夾角為θ，
∴cosθ= ，
∴PC平面PAB所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）首先利用中點引出中位線，進一步得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結論．（Ⅱ）根據直線間的兩兩垂直，盡力空間直角坐標系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的數量積求出線面的夾角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．