Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ ，其中a∈R．
（Ⅰ）求證：當a=1時，函數y=f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調增區間．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：函數f（x）的定義域是（0，+∞）． 當a=1時，f（x）=x﹣2lnx﹣ ，
函數f′（x）= ≥0，
所以函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增，
所以當a=1時，函數y=f（x）沒有極值點；
（Ⅱ）f′（x）=1﹣ + = ，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，
①a≤0時，由f′（x）＞0可得x＞1，
所以函數f（x）的增區間是（1，+∞）；
②當0＜a＜1時，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，
所以函數f（x）的增區間是（0，a），（1，+∞）；
③當a＞1時，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，
所以函數f（x）的增區間是（0，1），（a，+∞）；
④當a=1時，
由（Ⅰ）可知函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數y=f（x）的增區間是（1，+∞）；
當0＜a＜1時，所以函數f（x）的增區間是（0，a），（1，+∞）；
當a=1時，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
當a＞1時，所以函數f（x）的增區間是（0，1），（a，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，根據導函數的符號，求出函數的單調區間，證明結論即可；（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．