Question

【題目】（文科做）已知函數(shù)f（x）=x﹣ ﹣（a+2）lnx，其中實(shí)數(shù)a≥0．
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）= ，

令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	3﹣2ln3

從上表可知，

∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），

函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值是1，最小值為2﹣2ln2

（2）解： ，

①當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（0，2）∪（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；

②當(dāng)a=2時(shí)，∵ ，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；

③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（0，a）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）；

綜上，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．