Question

已知圓方程x²+y²-4px-4（2-p）y+8=0，且p≠1，p∈R，
（1）求證圓恒過定點；  
（2）求圓心的軌跡．

Answer 1

分析：（1）把給出的圓的方程展開后整理，提取參數p，由圓系方程聯立直線和圓的方程求出圓恒過的定點；
（2）化圓的一般方程為標準方程，寫出圓心坐標，消掉參數p后即可得到答案．

解答：解：（1）分離參數p得（4y-4x）p+x²+y²-8y+8=0，
由

x-y=0 x2+y2-8y+8=0

⇒

x=2 y=2

，即圓恒過定點（2，2）．
（2）圓方程可化為（x-2p）²+[y-（4-2p）]²=8（p-1）²，
得圓心的參數方程為

x=2p y=4-2p

，
消去參數p得：x+y-4=0 （x≠2）．
所以圓心的軌跡為x+y-4=0 （x≠2）．

點評：本題考查了圓系方程，考查了圓的參數方程，訓練了參數方程和一般方程的互化，是基礎題．