Question

已知圓方程x²+y²-2ax-4ay+5a²-4=0（a∈R）．
（1）求圓的半徑，圓心坐標(biāo)并求出圓心坐標(biāo)所滿足的直線方程；
（2）試問(wèn)：是否存在直線l，使對(duì)任意a∈R，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)均為2，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，即可得到半徑與圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓心所在的直線方程．
（2）根據(jù)題意可得：所求直線必須平行于直線y=2x，所以設(shè)所求直線的方程為y=2x+b，再根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的關(guān)系為(

AB

2

)2+d2=r2，可得圓心到直線的距離，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出b的數(shù)值，得到答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得圓的方程為（x-a）²+（y-2a）²=4，
所以半徑為2，圓心坐標(biāo)為（a，2a），
所以圓心坐標(biāo)滿足的直線方程為y=2x．
（2）因?yàn)閳A心在直線y=2x上，并且對(duì)任意a∈R，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)均為2，
所以所求直線必須平行于直線y=2x，
所以設(shè)所求直線的方程為y=2x+b，
因?yàn)樵撝本�被圓截得的弦長(zhǎng)均為2，并且半弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的關(guān)系為(

AB

2

)2+d2=r2，
所以d=

3

，
所以圓心（a，2a）到該直線的距離為

3

，則

|2a-2a+b|

5

=

3

，
解的b=±

15

，
所以直線方程為y=2x±

15

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，而當(dāng)直線與圓相交時(shí)半弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的關(guān)系(

AB

2

)2+d2=r2是解題的關(guān)鍵．