Question

【題目】已知橢圓 ，其左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，點R的坐標為 ，又點F2在線段RF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A1 ， A2 ， 點P在直線 上（點P不在x軸上），直線PA1 ， PA2與橢圓C分別交于不同的兩點M，N，線段MN的中點為Q，若|MN|=λ|A1Q|，求λ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵e= ，∴ ，

∵F2（c，0）在PF1的中垂線上，

∴|F1F2|=|RF2|，（2c）2= 2+（2 ﹣c）2，解得c=2，∴a2=3，b2=1．

∴橢圓C的方程為 +y2=1．

（2）

解：證明：由（Ⅰ）知A1（﹣ ，0），A2（ ，0），

設PA1的方程為y=k（x+ ）（k≠0），則P坐標（﹣2 ，﹣ k），

∴k = ，∴PA2方程為y= （x﹣ ），

聯立方程組 ，消元得（3+k2）x2﹣2 k2x+3k2﹣9=0，

解得N（ ，﹣ ），

∴k =﹣ ，∴A1M⊥A1N，

∴三角形MNA1為直角三角形，又Q為斜邊中點，

∴|MN|=2|A1Q|，即λ=2．

【解析】（1）根據|F1F2|=|RF2|列方程解出c，從而得出a，b求出橢圓方程；（2）設PA1的方程為y=k（x+ ）（k≠0），求出PA2方程，與橢圓方程聯立求出N點坐標，通過計算斜率可得A1N⊥A1M，從而得出|MN|=2|A1Q|．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．