Question

【題目】已知函數，無窮數列滿足 ,

（Ⅰ）若 ，求， ， ；

（Ⅱ）若 ，且， ， 成等比數列，求的值；

（Ⅲ）是否存在 ，使得 成等差數列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.(Ⅲ)當且僅當 時， ，構成等差數列.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據遞推關系求解即可．（Ⅱ）由條件得， ，分類討論去掉絕對值，并根據， ， 成等比數列可求得的值．(Ⅲ)由條件得，假設存在滿足條件，則，即，經分類討論去掉絕對值可得當且僅當 時， ，構成等差數列．

試題解析：

（Ⅰ） ．

（Ⅱ）由題意得

．

當 時， ，

∵， ， 成等比數列，

∴ ，

解得 ．

當 時， ，

∵， ， 成等比數列

∴，

解得 (舍去)．

綜上可得 或．

（Ⅲ）假設這樣的等差數列存在，那么 ．

由 得 ．

以下分情況討論:

①當 時，由得 ，與 矛盾;

②當 時，由得 ，①

從而 ，所以 是一個等差數列;

③當 時，則公差 ，

因此存在 使得 ．

此時，與矛盾．

綜合①②③可知，當且僅當 時， 構成等差數列．