Question

【題目】已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3 ， S9 ， S6成等差數列． （Ⅰ）求證：a2 ， a8 ， a5成等差數列；
（Ⅱ）若等差數列{bn}滿足b1=a2=1，b3=a5 ， 求數列{an3bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設等比數列{an}的公比為q． 當q=1時，顯然S3+S6≠2S9 ， 與已知S3 ， S9 ， S6成等差數列矛盾，
∴q≠1．由S3+S6=2S9 ， 可得 + =2 ，
化為：1+q3=2q6 ， ∴a2+a5= = =2a8 ．
∴a2 ， a8 ， a5成等差數列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6 ， 解得q3=1（舍去），q3=﹣ ．
∴ = = = ．
b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，
數列{bn}的公差d= （b3﹣b1）=﹣ ．
∴bn=﹣ + ，
故 = ，
Tn= + +…+ ，①
= +…+ + ②
① ﹣②得： =﹣2+ ﹣ =﹣2﹣ ﹣ = + ，
解得Tn=﹣ + ．
【解析】（Ⅰ）設等比數列{an}的公比為q．當q=1時，顯然S3+S6≠2S9 ， 與已知S3 ， S9 ， S6成等差數列矛盾，可得q≠1．由S3+S6=2S9 ， 利用求和公式化為：1+q3=2q6 ， 即可證明a2 ， a8 ， a5成等差數列．（Ⅱ）由（Ⅰ）1+q3=2q6 ， 解得q3=﹣ ．可得 = = = ．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，可得bn=﹣ + ， = ，再利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差數列的通項公式（及其變式）的相關知識，掌握通項公式：或，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．