Question

【題目】【2016高考山東理數】已知.

（I）討論的單調性；

（II）當時，證明對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求的導函數，對a進行分類討論，求的單調性；

（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據單調性求解.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為；

.

當， 時，，單調遞增；

，單調遞減.

當時，.

（1），，

當或時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

（2）時，，在內，，單調遞增；

（3）時，，

當或時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

綜上所述，

當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；

當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在 內單調遞增；

當時，在內單調遞增；

當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，

，，

令，.

則，

由可得，當且僅當時取得等號.

又，

設，則在單調遞減，

因為，

所以在上存在使得 時，時，，

所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，

由于，因此，當且僅當取得等號，

所以，

即對于任意的恒成立。