Question

【題目】設點在曲線上，從原點向移動，如果直線，曲線及直線所圍成的兩個陰影部分的面積分別記為，，如圖所示.

（1）當時，求點的坐標；

（2）當有最小值時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：（1）設點的橫坐標為，得點的坐標，利用定積分求解，利用，求得的值，即可求得點的坐標．

（2）由（1）可求當，化簡后，為的函數，再利用導數求得的最小值．

詳解：（1）設點P的橫坐標為t（0＜t＜2），則P點的坐標為（t，t2），

直線OP的方程為y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因為S1=S2，，所以，點P的坐標為

（2）S=S1+S2=

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因為0＜t＜時，S'＜0；＜t＜2時，S'＞0

所以，當t=時，S1＋S2有最小值，P點的坐標為．