Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA。
（1）求直線PC與平面PAD所成角的余弦值；（6分）
（2）求證：PC//平面EBD；（4分）
（3）求二面角A—BE—D的余弦值.（4分）

Answer 1

（1）直線PC與平面PAD所成角的余弦值. （2）見解析；（3）

解析試題分析：（1）一點B為坐標原點，以BA為x軸，以BC為y軸，以BP為z軸，建立空間直角坐標至B-xyz，根據條件求出CD,PD，然后求出這兩個向量的所成角即為異面直線CD與PA所成的角；
（2）欲證PC∥平面EBD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PC與平面EBD內一直線平行連接AC交BD于G，連接EG，根據比例關系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，滿足定理所需條件；
（3）先求平面EBD的法向量與平面ABE的法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．
解：（1）建立如圖所示的直角坐標系……1分


∴………………2分
設平面PAD法向量為，
則，所以 …3分
設直線PC與面PAD所成角為，…4分
…………………5分
所以，直線PC與平面PAD所成角的余弦值.……………………6分
（2）連結AC交BD于G，連結EG，
，∴ ……………8分
…………………………9分
∴…………………………10分
（3）設平面，由
考點：本試題主要考查了直線與平面的位置關系、兩異面直線所成角、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用線面平行的判定定理和二面角概念的理解和求解的運用。