Question

【題目】已知數(shù)列，且為該數(shù)列的前項(xiàng)和.

（1）寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）計(jì)算，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)詳解；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫(xiě)出的通項(xiàng)公式；（2），由求得，同理求得.接著猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立.（3）對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，利用求函數(shù)值域的方法即可求得.

（1）根據(jù)題意可得；

（2）；

；

；

可以看到，上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中，分子與項(xiàng)數(shù)n一致，分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為.于是可以猜想.

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

①當(dāng)時(shí)，左邊，

右邊，猜想成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即

.

所以，當(dāng)時(shí)猜想也成立.

根據(jù)（1）和（2），可知猜想對(duì)任何都成立.

（3）由（2）知，因?yàn)?/span>，所以，

則，即，

所以.