Question

設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且

3

2+x

+

3

2+y

=1，以點(diǎn)（x，y）為圓心，R=xy為半徑的圓的面積最小時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（x-4）²+（y-4）²=256

．

Answer 1

分析：由已知的關(guān)于x與y的等式，用y表示出x，將表示出的x代入xy中，設(shè)z=y-1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此時(shí)z的值，進(jìn)而確定出此時(shí)x與y的值，確定出所求圓的圓心與半徑，寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：∵

3

2+x

+

3

2+y

=1，
∴x=

8+y

y-1

，令z=y-1，則y=z+1，
∴xy=

y2+8y

y-1

=

(z+1)2+8(z+1)

z

=

z2+10z+9

z

=z+

9

z

+10≥6+10=16，
當(dāng)且僅當(dāng)z=

9

z

，即z=3時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)y=4，x=4，半徑xy=16，
則此時(shí)所求圓的方程為（x-4）²+（y-4）²=256．
故答案為：（x-4）²+（y-4）²=256

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運(yùn)用，利用了換元的數(shù)學(xué)思想，求出圓心坐標(biāo)與半徑是解本題的關(guān)鍵．