Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 由橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成一個等邊三角形．它的面積為4 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知動點B（m，n）（mn≠0）在橢圓上，點A（0，2 ），直線AB交x軸于點D，點B′為點B關于x軸的對稱點，直線AB′交x軸于點E，若在y軸上存在點G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得 ，

∴ ，∴橢圓C的方程： ．

（2）解：設D（x1，0），E（x2，0）．

由A，D，B，三點共線．得 ，即x1= ．

同理可得x2= ．

又∵∠OGD=∠OEG，∴ ．

∵﹣2 ，且n≠0，∴ ，

由于 ，∴ ，

∴t=±4，點G的坐標為（0，±4）．

【解析】（1）利用橢圓的短軸的一個端點和兩個焦點構成等邊三角形的三個頂點，它的面積為4 ．建立方程關系，求出a，b，即可得橢圓方程．（2）設D（x1 ， 0），E（x2 ， 0）．由A，D，B，三點共線．得x1= ．同理可得x2= ．又∠OGD=∠OEG，得 ．由于 ，故 ．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．