Question

【題目】如圖所示的多面體是由一個(gè)以四邊形ABCD為地面的直四棱柱被平面A1B1C1D1所截面成，若AD=DC=2，AB=BC=2 ，∠DAB=∠BCD=90°，且AA1=CC1= ；

（1）求二面角D1﹣A1B﹣A的大小；
（2）求此多面體的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立如圖的空間坐標(biāo)系，由題意得A1（0，0， ），B（0，2 ，0），C1（﹣3， ， ），

=（0，﹣2 ， ）， =（﹣3， ， ），

設(shè)平面D1A1B的法向量為 =（u，v，w），則 ，即 ，

令v= ，則u=1，w=4，

即 =（1， ，4），

平面A1BA的法向量為 =（1，0，0），

則cos＜ ， ＞= = = ，

則二面角D1﹣A1B﹣A的大小為arccos

（2）解：設(shè)D1（﹣2，0，k），則 =（﹣2，0，h﹣， ），

而 =0，則（﹣2，0，h﹣ ）（1， ，4）=﹣2+4h﹣6=0，得h=2，

由題意知平面BD1D將多面體分成兩個(gè)體積相等的四棱錐B﹣D1DCC1和B﹣D1DAA1，

∵AA1⊥平面ABCD，∠DAB=90°，

∴AB⊥平面D1DCC1，

則四邊形D1DAA1是直角梯形，

= ， = ，

則多面體的體積為 ．

【解析】（1）建立如圖的空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)分割法將多面體分割成兩個(gè)四棱錐，根據(jù)四棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可．