Question

【題目】某小區(qū)提倡低碳生活，環(huán)保出行，在小區(qū)提供自行車出租．該小區(qū)有40輛自行車供小區(qū)住戶租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日92元，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過5元，則自行車可以全部出租，若超過5元，則每超過1元，租不出的自行車就增加2輛，為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x元只取整數(shù)，用f（x）元表示出租自行車的日純收入（日純收入=一日出租自行車的總收入﹣管理費(fèi)用）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其定義域；
（2）當(dāng)租金定為多少時(shí)，才能使一天的純收入最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：當(dāng)0＜x≤5且x∈N*時(shí)，f（x）=40x﹣92

當(dāng)x＞5且x∈N*時(shí)，f（x）=[40﹣2（x﹣5）]x﹣92=﹣2x2+50x﹣92

∴

其定義域?yàn)閧x|x∈N*且x≤40}

（2）解：當(dāng)0＜x≤5且x∈N*時(shí)，f（x）=40x﹣92，

∴當(dāng)x=5時(shí)，f（x）max=108（元）

當(dāng)x＞5且x∈N*時(shí)，f（x）=﹣2x2+50x﹣92=﹣2（x﹣ ）2+

∵開口向下，對稱軸為x= ，

又∵x∈N*，∴當(dāng)x=12或13時(shí)f（x）max=220（元）

∵220＞108，∴當(dāng)租金定為12元或13元時(shí)，一天的純收入最大為220元

【解析】（1）利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式，寫出該分段函數(shù)，是解決該題的關(guān)鍵，注意實(shí)際問題中的自變量取值范圍；（2）利用一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性解決該最值問題是解決本題的關(guān)鍵．注意自變量取值區(qū)間上的函數(shù)類型．應(yīng)取每段上最大值的較大的即為該函數(shù)的最大值．