Question

【題目】已知函數f（x）=x2+4ax+2a+6．
（1）若函數f（x）=log2 f（x）的最小值為2，求a的值；
（2）若對任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函數g（a）=2﹣a|a+3|的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=log2f（x）的最小值為2，即f（x）的最小值為4；

∵f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+6﹣4a2≥4；

∴2a+6﹣4a2=4a=1 或 a=

（2）解：∵函數f（x）≥0恒成立，

∴△=16a2﹣4（2a+6）≤0，計算得出：﹣1 ；

∴g（a）=2﹣a|a+3|=2﹣a（a+3）=﹣（a+ ）2+ ；

∵g（a）在區間[﹣1， ]單調遞減；

∴g（a）min=g（ ）=﹣ ，g（a）max=g（﹣1）=4．

∴函數g（a）的值域為[﹣ ，4]

【解析】（1）因為函數f（x）=log2 f（x）的最小值為2，即f（x）的最小值為4；關鍵在于2a+6﹣4a2=4．（2）函數f（x）≥0恒成立，所以△≤0；同時可得g（a）在區間[﹣1， ]單調遞減，即可求出g（a）的值域．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．