【題目】已知函數
若
，求
的單調區間；
是否存在實數a，使的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
【答案】（I）單調增區間為
，單調減區間為
；（II）存在實數
，使
的最小值為0.
【解析】
根據
代入函數表達式，解出
，再代入原函數得
，求出函數的定義域后，討論真數對應的二次函數在函數定義域內的單調性，即可得函數的單調區間；
先假設存在實數a，使的最小值為0，根據函數表達式可得真數
恒成立，且真數t的最小值恰好是1，再結合二次函數
的性質，可列出式子：
，由此解出，從而得到存在a的值，使的最小值為0．
且，
可得函數
真數為
函數定義域為
令
可得：當
時，t為關于x的增函數；
當
時，t為關于x的減函數．
底數為
函數的單調增區間為，單調減區間為
設存在實數a，使的最小值為0，
由于底數為，可得真數恒成立，
且真數t的最小值恰好是1，
即a為正數，且當
時，t值為1．
因此存在實數，使的最小值為0．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知點
，
的坐標分別為
，
．直線
，
相交于點
，且它們的斜率之積是
．記點的軌跡為
．
（Ⅰ）求的方程．
（Ⅱ）已知直線，分別交直線
于點
，
，軌跡在點處的切線與線段
交于點
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某制造商3月生產了一批乒乓球，從中隨機抽樣100個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數據分組如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[39．95,39．97） | 10 | |
[39． 97,39．99） | 20 | |
[39．99,40．01） | 50 | |
[40．01,40．03] | 20 | |
合計 | 100 |
（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結果保留兩位小數），并在圖中畫出頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為40．00 mm，試求這批球的直徑誤差不超過0．03 mm的概率；
（Ⅲ）統計方法中，同一組數據經常用該組區間的中點值（例如區間[39．99,40．01）的中點值是40．00作為代表．據此估計這批乒乓球直徑的平均值（結果保留兩位小數）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝
為奇函數．
(1)求b的值；
(2)證明：函數f(x)在區間(1，＋∞)上是減函數；
(3)解關于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的離心率
，拋物線
的焦點恰好是橢圓
的右焦點
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點作兩條斜率都存在的直線
，設
與橢圓交于
兩點，
與橢圓交于
兩點，若
是
與
的等比中項，求
的最小值．
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