Question

定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N^*）時，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個數(shù)為a_n，則式子[

an+90

n

]的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進(jìn)而得到

an+90

n

，用基本不等式求解．

解答：解：根據(jù)題意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：1，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

+1
∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1)，所以當(dāng)n=13或14時，最小值為13．
故答案為：13

點(diǎn)評：本題主要通過取整函數(shù)來建立新函數(shù)，進(jìn)而研究其定義域和值域．