Question

（2013•上海）給定常數c＞0，定義函數f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．數列a₁，a₂，a₃，…滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
（2）求證：對任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）對于分別取n=1，2，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．去掉絕對值符合即可得出；
（2）由已知可得f（x）=

x+c+8，x≥-c 3x+3c+8，-c-4≤x＜-c -x-c-8，x＜-c-4

，分三種情況討論即可證明；
（3）由（2）及c＞0，得a_n+1≥a_n，即{a_n}為無窮遞增數列．分以下三種情況討論：當a₁＜-c-4時，當-c-4≤a₁＜-c時，當a₁≥-c時．即可得出a₁的取值范圍．

解答：解：（1）a₂=f（a₁）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a₃=f（a₂）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=

x+c+8，x≥-c 3x+3c+8，-c-4≤x＜-c -x-c-8，x＜-c-4

當a_n≥-c時，a_n+1-a_n=c+8＞c；
當-c-4≤a_n＜-c時，a_n+1-a_n=2a_n+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
當a_n＜-c-4時，a_n+1-a_n=-2a_n-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴對任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）由（2）及c＞0，得a_n+1≥a_n，即{a_n}為無窮遞增數列．
又{a_n}為等差數列，所以存在正數M，當n＞M時，a_n≥-c，從而a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，由于{a_n}為等差數列，
因此公差d=c+8．
①當a₁＜-c-4時，則a₂=f（a₁）=-a₁-c-8，
又a₂=a₁+d=a₁+c+8，故-a₁-c-8=a₁+c+8，即a₁=-c-8，從而a₂=0，
當n≥2時，由于{a_n}為遞增數列，故a_n≥a₂=0＞-c，
∴a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，而a₂=a₁+c+8，故當a₁=-c-8時，{a_n}為無窮等差數列，符合要求；
②若-c-4≤a₁＜-c，則a₂=f（a₁）=3a₁+3c+8，又a₂=a₁+d=a₁+c+8，∴3a₁+3c+8=a₁+c+8，得a₁=-c，應舍去；
③若a₁≥-c，則由a_n≥a₁得到a_n+1=f（a_n）=a_n+c+8，從而{a_n}為無窮等差數列，符合要求．
綜上可知：a₁的取值范圍為{-c-8}∪[-c，+∞）．

點評：本題綜合考查了分類討論的思方法、如何絕對值符號、遞增數列、等差數列等基礎知識與方法，考查了推理能力和計算能力．