Question

定義函數f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，當x∈[0，n）（n∈N^*）時，設函數f（x）的值域為A，記集合A中的元素個數為a_n，則式子

an+90

n

的最小值為（　　）

A．10

B．13

C．14

D．16

Answer 1

分析：根據[x]表示不超過x的最大整數，先由題意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，進而得到 a_n+90n，用基本不等式即可求出式子

an+90

n

的最小值．

解答：解：根據題意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各區間中的元素個數是：0，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1) ≥

180

-

1

2

≈13.4128
∴[

an+90

n

]的最小值為13
故選B

點評：本題考查的知識點是分段函數，集合元素的個數，基本不等式在求函數最值時的應用，其中正確理解函數f（x）=[x[x]]，所表示的意義是解答本題的關鍵．