【題目】在平面直角坐標系xOy中，過點P(0，1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：
交于點A，B，與圓M：(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1交于點C，D．
（1）若AB＝
，求CD的長；
（2）若CD中點為E，求△ABE面積的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先由AB的長度求出圓心O到直線AB的距離，列方程求出直線AB的斜率，從而得到直線CD的斜率，寫出直線CD的方程，用垂徑定理求CD得長度；（2）△ABE的面積
，先考慮直線AB、CD平行于坐標軸的情況，不平行時先由垂徑定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，將面積S表示成直線AB斜率k的函數式，再求其范圍.
解：（1）因為AB＝
，圓O半徑為2
所以點O到直線AB的距離為
顯然AB、CD都不平行于坐標軸
可設AB：
，即
則點O到直線AB的距離
，解得
因為AB⊥CD，所以
所以CD：
，即
點M（2,1）到直線CD的距離
所以
（2）當AB⊥x軸，CD∥x軸時，此時AB=4，點E與點M重合，PM=2，所以△ABE的面積S=4
當AB∥x軸，CD⊥x軸時，顯然不存在，舍
當AB與CD都不平行于坐標軸時
由（1）知
因為
，所以
因為點E是CD中點，所以ME⊥CD，
所以
所以△ABE的面積
記
，則
則
綜上所述：
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市有戶籍的人口共
萬，其中老人（年齡
歲及以上）人數約有
萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取
人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以
歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如下圖表：
（1）若從樣本中的不能自理的老人中采取分層抽樣的方法再抽取
人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
（2）估算該市
歲以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）政府計劃為
歲及以上長者或生活不能自理的老人每人購買
元/年的醫療保險，為其余老人每人購買
元/年的醫療保險，不可重復享受，試估計政府執行此計劃的年度預算.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的方程為
，過點
且斜率為
的直線
與曲線相切于點
．
（1）以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程和點的極坐標；
（2）若點
在曲線上，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有
名學生排成一排，求分別滿足下列條件的排法種數，要求列式并給出計算結果.
（1）甲不在兩端；
（2）甲、乙相鄰；
（3）甲、乙、丙三人兩兩不得相鄰；
（4）甲不在排頭，乙不在排尾。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）集合
，
或
，對于任意
，定義
，對任意
，定義
，記
為集合
的元素個數，求
的值；
（2）在等差數列
和等比數列
中，
，
，是否存在正整數
，使得數列的所有項都在數列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（3）已知當
時，有
，根據此信息，若對任意，都有
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度，某部門從年齡在15歲到65歲的人群中隨機調查了100人，將這100人的年齡數據分成5組：
，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）由頻率分布直方圖，計算出各年齡段的人數，并估計這100人年齡的眾數、中位數和平均數；（該小題不用寫解題過程，請在答題卷上直接寫出答案
（2）支持“延遲退休”的人數如下表所示，根據以上統計數據填寫下面的2×2列聯表，據此表，能否有95%的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政”的不支持態度存在差異？
附：
，其中
．
年齡 |
|
|
|
|
|
支持“延遲退休”的人數 | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
參考數據：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
：
的離心率為
，設
，
分別為橢圓的右頂點，下頂點，
的面積為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知不經過點的直線
：
交橢圓于
，
兩點，線段
的中點為
，若
，求證：直線過定點.
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