Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1－, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
（1）求橢圓方程；
（2）若，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（－1，－）∪（，1）∪｛0｝

（1）設C：＋＝1（a＞b＞0），設c＞0，c²＝a²－b²，由條件知a－c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故C的方程為：　                  5′
（2）由＝λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3　或O點與P點重合="             " 7′
當O點與P點重合=時，m=0
當λ＝3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。
設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0
Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）＞0 （*）
x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                          11′
∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴
消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0
整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                         13′
m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝＞0，∴－1＜m＜－ 或 ＜m＜1
容易驗證k²＞2m²－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′