Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，
若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．
（I）求證：；
（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

　（I）證明見解析              
　（II）存在．

（I）設，由知，點C的軌跡為．  2分
由消y得：．
設，，則，，          
所以，
所以，于是．              
　（II）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為．
由消x得：．設，，
則，．                         
因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，
所以即，  
所以得，所以存在．