Question

【題目】某地方政府要將一塊如圖所示的直角梯形ABCD空地改建為健身娛樂廣場.已知AD//BC, 百米， 百米，廣場入口P在AB上，且，根據規劃，過點P鋪設兩條相互垂直的筆直小路PM,PN（小路的寬度不計），點M,N分別在邊AD,BC上（包含端點），區域擬建為跳舞健身廣場， 區域擬建為兒童樂園，其它區域鋪設綠化草坪，設.

（1）求綠化草坪面積的最大值；

（2）現擬將兩條小路PNM,PN進行不同風格的美化，PM小路的美化費用為每百米1萬元，PN小路的美化費用為每百米2萬元，試確定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化總費用最低，并求出最小費用.

Answer 1

【答案】(1) 綠化草坪面積的最大值為平方百米;(2) 時總美化費用最低為4萬元.

【解析】試題分析：（1）先求得

,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得 ，

總美化費用為 ，再利用導數工具求得正解.

試題解析：（1）在中， ，得，

所以

由,

在中， ，得，

所以

所以綠化草坪面積

又因為

當且當，即。此時

所以綠化草坪面積的最大值為平方百米.

（2）方法一：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以總美化費用為

令得列表如下

		-	0	-
		單調遞減		單調遞增

所以當時，即時總美化費用最低為4萬元。

方法二：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以總美化費用為

令得

所以，

所以在上是單調遞減

所以當， 時，即時總美化費用最低為4萬元。