Question

【題目】已知函數（,是自然對數的底數）.

（1）若是上的單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（2）當時，證明：函數有最小值，并求函數最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析: （Ⅰ）先將單調性轉化為不等式恒成立：當時，函數恒成立，再變量分離轉化為對應函數最值：的最小值，最后根據導數求函數最值，（Ⅱ）利用二次求導，確定導函數為單調遞增函數，再利用零點存在定理確定導函數有且僅有一個零點，根據導函數符號變化規律得函數在此零點（極小值點）取最小值.最后利用導函數零點表示函數最小值，并根據導函數零點取值范圍，利用導數方法確定最小值函數的值域.

試題解析: （Ⅰ），

依題意：當時，函數恒成立，即恒成立，

記，則，

所以在上單調遞增，所以，所以，即；

（Ⅱ）因為，所以是上的增函數，

又， ，所以存在使得

且當時，當時，所以的取值范圍是．

又當，，當時，，

所以當時，．且有

∴．

記，則，

所以，即最小值的取值范圍是．