Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（為實數）.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）當時，設、分別為曲線和曲線上的動點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在曲線的參數方程中消去參數可得出曲線的普通方程，將曲線的極坐標方程變形為，進而可得出曲線的直角坐標方程；

（2）設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可求得的最小值.

（1）將曲線的參數方程變形為，可得，

將曲線的極坐標方程變形為，即，

所以，曲線的直角坐標方程為.

因此，曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；

（2）當時，直線的方程為.

設點，則點到直線的距離為，

其中為銳角，且.

當時，取得最小值.