Question

【題目】已知正數x、y滿足xy=x+y+3．
（1）求xy的范圍；
（2）求x+y的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正數x、y滿足x+y+3=xy，

∴xy=x+y+3≥3+2 ，即xy﹣2 ﹣3≥0，可以變形為（ ﹣3）（ +1）≥0，

∴ ≥3，即xy≥9，

當且僅當x=y=3時取等號，

∴xy的范圍是[9，+∞）

（2）解：∵x、y均為正數，

∴x+y≥2 ，則xy≤ ，

∴x+y+3=xy≤ ，即（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，

化簡可得，（x+y+2）（x+y﹣6）≥0，

∴x+y≥6，

當且僅當x=y=3時取等號，

∴x+y的范圍是[6，+∞）

【解析】（1）根據x+y≥2 ，將xy=x+y+3中的x+y消去，然后解不等式可求出xy的范圍，注意等號成立的條件；（2）根據xy≤ ，將xy=x+y+3中的xy消去，然后解不等式可求出x+y的范圍，注意等號成立的條件．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應用，掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”即可以解答此題．