Question

【題目】已知函數（其中，為常數且）在處取得極值．

（Ⅰ）當時，求的單調區間；

（Ⅱ）若在上的最大值為1，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，；單調遞減區間為; （Ⅱ）或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由函數的解析式，可求出函數導函數的解析式，進而根據是的一個極值點，可構造關于，的方程，根據求出值；可得函數導函數的解析式，分析導函數值大于0和小于0時，的范圍，可得函數的單調區間；
（Ⅱ）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的的值，列表表示出在各個區間上的導函數和函數的情況，做出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關于的方程求得結果．

試題解析：

（Ⅰ）因為，所以，

因為函數在處取得極值，

當時，，，

由，得或；由，得，

即函數的單調遞增區間為，；單調遞減區間為．

（Ⅱ）因為，

令，，，

因為在處取得極值，所以，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在區間上的最大值為，

令，解得，

當，，

當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

所以最大值1可能的在或處取得，而 ，

所以，解得；

當時，在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

所以最大值1可能在或處取得，

而，

所以，

解得，與矛盾．

當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，

所最大值1可能在處取得，而，矛盾．

綜上所述，或．