Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（1）設(shè)bn= ，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn= ，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求證：Tn＜3．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=1﹣ ，bn= ，

∴bn+1﹣bn=﹣ ﹣ = ﹣ = ﹣ =2（常數(shù)），

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

∵a1=1，

∴b1=2，bn=2+（n﹣1）×2=2n，

由bn=2n，∴ =2n，

得an=

（2）證明：由cn= = = ，

∴cncn+2= =2 ，

∴數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為T(mén)n=2 +

=2

=3﹣ ＜3．

∴Tn＜3

【解析】（1）由an+1=1﹣ ，bn= ，只要證明：bn+1﹣bn=常數(shù)即可得出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出bn ． （2）由cn= = ，可得cncn+2= =2 ，利用“裂項(xiàng)求和”與不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握通項(xiàng)公式：或；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．