Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）當a=﹣1時，求函數的最大值和最小值；
（2）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[﹣5，5]上是單調減函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，函數表達式是f（x）=x2﹣2x+2，

∴函數圖象的對稱軸為x=1，

在區間（﹣5，1）上函數為減函數，在區間（1，5）上函數為增函數．

∴函數的最小值為[f（x）]min=f（1）=1，

函數的最大值為f（5）和f（﹣5）中較大的值，比較得[f（x）]max=f（﹣5）=37

綜上所述，得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1

（2）解：∵二次函數f（x）圖象關于直線x=﹣a對稱，開口向上

∴函數y=f（x）的單調減區間是（﹣∞，﹣a]，單調增區間是[﹣a，+∞），

由此可得當[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]時，

即﹣a≥5時，f（x）在[﹣5，5]上單調減，解之得a≤﹣5．

即當a≤﹣5時y=f（x）在區間[﹣5，5]上是單調減函數

【解析】（1）當a=﹣1時f（x）=x2﹣2x+2，可得區間（﹣5，1）上函數為減函數，在區間（1，5）上函數為增函數．由此可得[f（x）]max=37，[f（x）] min=1；（2）由題意，得函數y=f（x）的單調減區間是（﹣∞，﹣a]，由[﹣5，5]（﹣∞，﹣a]，可得﹣a≥5，解出a≤﹣5，即為實數a的取值范圍．