Question

某漁業公司年初用49萬元購買一艘捕魚船，第一年各種費用6萬元，以后每年都增加2萬元，每年捕魚收益25萬元．
（1）問第幾年開始獲利？
（2）若干年后，有兩種處理方案：①年平均獲利最大時，以18萬元出售該漁船；②總純收入獲利最大時，以9萬元出售該漁船．問哪種方案最合算？

Answer 1

（1）漁業公司第3年開始獲利．（2）方案①較合算.

解析試題分析：（1）由題意列出獲利y與年份n的函數關系，然后求解不等式得到n的范圍，根據n是正的自然數求得n的值；
（2）用獲利除以年份得到年平均獲利，利用不等式求出最大值，求出獲得的總利潤，利用配方法求出獲得利潤的最大值，求出總獲利，比較后即可得到答案．
試題解析：（1）第n年開始獲利，設獲利為y萬元，則
y＝25n－[6n＋×2]－49＝－n²＋20n－49   2分
由y＝－n²＋20n－49＞0得10－＜n＜10＋　       4分
又∵n∈N*，∴n＝3，4
∴n＝3時，即該漁業公司第3年開始獲利．   5分
（2）方案①：年平均獲利為＝－n－＋20≤－2＋20＝6（萬元）      7分
當n＝7時，年平均獲利最大，若此時賣出，共獲利6×7＋18＝60（萬元）      8分
方案②：y＝－n²＋20n－49＝－(n－10)²＋51
當且僅當n＝10時，即該漁業公司第10年總額最大，若此時賣出，共獲利51＋9＝60萬元　  11分
因為兩種方案獲利相等，但方案②所需的時間長，所以方案①較合算．    12分
考點：函數模型的選擇及應用;簡單的建模思想;利用基本不等式求最值;配方法.