Question

【題目】已知函數是定義在上的奇函數，當時，．

（1）求在上的解析式；

（2）若，函數，是否存在實數使得的最小值為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由函數的奇偶性求對稱區間上的解析式；

（2）將的表達式化簡得到關于的二次函數的形式，討論對稱軸與所給區間的關系，求出最小值，滿足題意，求出的值。

（1）是定義在上的奇函數，所以，

不妨設，則，，

若，則，故

所以.

（2）由（1）得，

當時，，

所以

令，則，

所以函數在上的最小值即為函數在上的最小值，

對稱軸為，

當即時，函數在區間上是增函數，

所以，解得，

當，即時，，

化簡得，，解得或，

因為，，所以此時，

當，即時，函數在區間上是減函數，

所以，解得，

所以，綜上所述，存在，.