Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線過坐標原點且直線與的斜率互為相反數，直線與橢圓交于兩點且均不與點重合，設直線的斜率為，直線的斜率為.證明： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值為

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率為,且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得結果；（Ⅱ）設,聯立,消去得,,利用斜率公式以及韋達定理，化簡可得則，所以為定值.

試題解析：（Ⅰ）由題可得,解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題知直線斜率存在,設.

聯立,消去得,

由題易知恒成立,由韋達定理得,

因為與斜率相反且過原點,

設, ,

聯立,

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

則

，所以為定值.