Question

（本小題滿分13分）已知A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的兩個動點，線段AB的長為2，D是AB的中點．
(1)求動點D的軌跡C的方程；
(2)若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|＝3時，求直線l的方程；
②設點E(m,0)是x軸上一點，求當·恒為定值時E點的坐標及定值．

Answer 1

解：　(1)設D(x，y)，A(a，a)，B(b，－b),
∵ D是AB的中點， ∴x＝，y＝，
∵ |AB|＝2，∴(a－b)²＋(a＋b)²＝12，
∴(2y)²＋(2x)²＝12，∴點D的軌跡C的方程為x²＋y²＝3.
(2) ①當直線l與x軸垂直時，P(1，)，Q(1，－)，
此時|PQ|＝2，不符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x－1)，
由于|PQ|＝3，所以圓心C到直線l的距離為，
由＝，解得k＝.故直線l的方程為y＝(x－1).
②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1)，
由消去y得(k²＋1)x²－2k²x＋k²－3＝0，
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)則由韋達定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
則＝(m－x₁，－y₁)，＝(m－x₂，－y₂)，
∴·＝(m－x₁)(m－x₂)＋y₁y₂＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋y₁y₂
＝m²－m(x₁＋x₂)＋x₁x₂＋k²(x₁－1)(x₂－1)
＝m²－＋＋k² (－＋1)＝
要使上式為定值須＝1，解得m＝1，
∴·為定值－2，
當直線l的斜率不存在時P(1，)，Q(1，－)，
由E(1，0)可得＝(0，－)，＝(0，)，
∴·＝－2，           
綜上所述當E(1，0)時，·為定值－2.

略