Question

【題目】幾位大學生響應國家的創業號召，開發了三款軟件，為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動，這三款軟件的激活碼分別為下面數學問題的三個答案：已知數列，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，以此類推，試根據下列條件求出三款軟件的激活碼

（1）A款應用軟件的激活碼是該數列中第四個三位數的項數的平方

（2）B款應用軟件的激活碼是該數列中第一個四位數及其前所有項的和

（3）C款應用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數：①；②該數列的前項和為2的整數冪

Answer 1

【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897

【解析】

（1）講數列按照規律重新書寫成行列形式，依次觀察三位數出現的順序；

（2）根據第一問重新書寫的形式找到第一個四位數1024所在位置即可求和；

（3）先確定第1000項出現在哪一行，再計算前m行所有項之和，要變成2的整數冪形式需要再加多少，即可求解.

（1）由題可以將數列排成如下形式：

1，

1，2，

1，2，4，

1，2，4，8，

1，2，4，8，16，

1，2，4，8，16，32，

…

由2的整數冪可知：第一個三位數是，

下一行產生第二個和第三個三位數，依次是，

下一行產生第四個三位數，

觀察數列規律：①每行的行數即該行的項數，②第行的最后一項，

第三個三位數出現在第9行最后一項，第四個三位數出現在第10行第8項，

其項數為，

所以A款應用軟件的激活碼是2809.

（2）由2的整數冪可知第一個四位數是，第11行第11項，根據規律：

設上面數列第行數列之和為，可得，

所以第一個四位數及其以前所有項之和為

（3）由題：前行一共項，

由條件①，設，可得，

滿足條件的最小整數至少在第45行或大于第45行中的某個項數，

根據條件②：前行所有項之和

，

要滿足這個數是2的整數冪，必須第行前項之和為，且

前項之和

即，，，即，

要使取值最小，只有當時滿足題意，此時，

所以滿足條件的最小整數.