【題目】已知函數
.
（Ⅰ）當
時，判斷函數
的單調性；
（Ⅱ）當
時，證明：
.（
為自然對數的底數）
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）函數
的定義域為
.
.
①當
時，
.
當
時，
，函數單調遞增；
當
時，
，函數單調遞減.
②當
時，
.
當時，，函數單調遞增；
當
時，，函數單調遞減；
當
時，，函數單調遞增.
③當
時，
.
易知
恒成立，函數在上單調遞增；
④當
時，
.
當
時，，函數單調遞增；
當
時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增.
綜上，當時，函數在
和
上單調遞增，在
上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在
和
上單調遞增，在
上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當
時，不等式化為
.
記
，則
.
顯然
在上單調遞增，
且
，
.
所以在上有唯一的零點
，且
.
所以當
時，
，函數
單調遞減；當
時，
，函數單調遞增.
由
，即
，得
，
所以
，
而易知函數
在
上單調遞減，
所以
，
所以
.
所以
，即
.
名校名卷單元同步訓練測試題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某家具廠有方木料90
，五合板600
，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產第張書桌需要方木料O.l，五合板2，生產每個書櫥而要方木料0.2，五合板1，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.
（1）如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？
（2）怎樣安排生產可使所得利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列{an} 滿足a1＝a，
＝can+1﹣c（n∈N*），其中a、c為實數，且c≠0．
（1）求數列{an} 的通項公式；
（2）設a＝
，c＝，bn＝n（1﹣an）（n∈N*），求數列 {bn}的前n項和Sn．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的個數是（ ）．
①“若
,則
,
中至少有一個不小于2”的逆命題是真命題；
②命題“設
,若
,則
或
”是一個真命題；
③命題
,
,則
是
的必要不充分條件；
④命題“
,使得
”的否定是：“
，均有
”．
A.4B.3C.2D.1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
與
軸交于點
,直線
與拋物線
交于點
，
兩點．直線
,
分別交橢圓
于點
、
（,與不重合）
(1)求證：
；
(2)若
,求直線
的斜率
的值；
(3)若
為坐標原點,直線
交橢圓
于
，
，若
,且
,則
是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱臺ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，上、下底面的面積之比為1：4，側面A1ABB1⊥底面ABC，并且A1A=A1B1，∠AA1B=90°．
（1）平面A1C1B∩平面ABC=l，證明：A1C1∥l；
（2）求四棱錐B-A1ACC1的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】幾位大學生響應國家的創業號召，開發了
三款軟件，為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動，這三款軟件的激活碼分別為下面數學問題的三個答案：已知數列
，其中第一項是
，接下來的兩項是
，再接下來的三項是
，以此類推，試根據下列條件求出三款軟件的激活碼
（1）A款應用軟件的激活碼是該數列中第四個三位數的項數的平方
（2）B款應用軟件的激活碼是該數列中第一個四位數及其前所有項的和
（3）C款應用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數
：①
；②該數列的前項和為2的整數冪
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發了社會的廣泛關注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為
.某機構就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.
（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數比男性認為好看的人數多的概率；
（2）設
表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數，求的分布列與數學期望.
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