Question

【題目】如圖，在多面體中，底面為矩形，側面為梯形，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）判斷線段上是否存在點，使得平面平面？并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；

（II）證明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；

（III）取CE的中點P，BE的中點Q，證明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．

（Ⅰ）由底面為矩形，知.

又因為，，

所以平面.

又因為平面，

所以.

（Ⅱ）由底面為矩形，知，

又因為平面，平面，

所以平面.

同理平面，

又因為，

所以平面平面.

又因為平面，

所以平面.

（Ⅲ）結論：線段上存在點（即的中點），使得平面平面.

證明如下：

取的中點，的中點，連接，則.

由，得.

所以四點共面.

由（Ⅰ），知平面，

所以，故.

在△中，由，可得.

又因為，

所以平面.

又因為平面

所以平面平面（即平面平面）.

即線段上存在點（即中點），使得平面平面