Question

【題目】已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是________

Answer 1

【答案】

【解析】

解法一：先求得直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（﹣，0），由﹣≤0可得點M在射線OA上．求出直線和BC的交點N的坐標，①若點M和點A重合，求得b=；②若點M在點O和點A之間，求得＜b＜； ③若點M在點A的左側，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得結果．

解法二：考查臨界位置時對應的b值，綜合可得結論．

解法一：由題意可得，三角形ABC的面積為 =1，

由于直線y=ax+b（a＞0）與x軸的交點為M（﹣，0），

由直線y=ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，

故﹣≤0，故點M在射線OA上．

設直線y=ax+b和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為（，）．

①若點M和點A重合，則點N為線段BC的中點，故N（，），

把A、N兩點的坐標代入直線y=ax+b，求得a=b=．

②若點M在點O和點A之間，此時b＞，點N在點B和點C之間，

由題意可得三角形NMB的面積等于，

即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，

故有＜b＜．

③若點M在點A的左側，則b＜，由點M的橫坐標﹣＜﹣1，求得b＞a．

設直線y=ax+b和AC的交點為P，則由 求得點P的坐標為（，），

此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即 （1﹣b）|xN﹣xP|=，

即（1﹣b）|﹣|=，化簡可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．

由于此時 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．

兩邊開方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化簡可得 b＞1﹣，

故有1﹣＜b＜．

再把以上得到的三個b的范圍取并集，可得b的取值范圍應是 ，

解法二：當a=0時，直線y=ax+b（a＞0）平行于AB邊，

由題意根據三角形相似且面積比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趨于最小．

由于a＞0，∴b＞1﹣．

當a逐漸變大時，b也逐漸變大，

當b=時，直線經過點（0，），再根據直線平分△ABC的面積，故a不存在，故b＜．

綜上可得，1﹣＜b＜，

故答案為：．