Question

文（12分）已知四棱錐P-ABCD，PB⊥AD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（1）求點P到平面ABCD的距離；（2）求PD與AB所成角的大小；（3）求二面角A—PB—C的大小.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）作PO⊥平面ABCD于O，則PO⊥AD，又∵PB⊥AD，
∴AD⊥平面POB，連OB交AD于E，則PE⊥AD，BE⊥AD，
得∠PEB為二面角P-AD-B的平面角.∴∠PEB=120°，
在邊長為2正△PAD中，易得AE=，∴為所求；
（2）易證Rt△PAE≌Rt△BAE（直角邊、斜邊）.∴BE=PE=，∴PB=3.又在Rt△PBC中.∵AB∥DC，∴PD與AB所成角即為PD與DC所成角.在△PDC中，由余弦定理得.∴PD與AB所成角大小為.
（3）取PB中點G及PC中點F，則GF∥BC，而BC⊥PB，∴GF⊥PB；又∵AP=AB，∴AG⊥PB，于是∠AGF為所求平面角.由（2）所證知PE=BE，∴∠PEG=60°，,∴Rt△GAE中, ，∴.
解法2：建立如圖坐標系,則,先證明及,從而知B,
G，A，C.然后由，如與所成的角即為所求平面角.∵，∴平面角.
注：（2）題中可由得.