Question

【題目】已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點．點M(3，m)在雙曲線上．

(1)求雙曲線的方程；

(2)求證：；

(3)求△F1MF2的面積．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)6

【解析】

(1)根據設雙曲線的方程為，由點在雙曲線上，代入，即可得到雙曲線的方程；

(2)根據題意求出，，根據向量數量積的坐標運算得到以及由點M在雙曲線上得到，即可證明；

(3)以為底，以點M的縱坐標為高，即可得到△F1MF2的面積.

(1)因為，所以雙曲線的實軸、虛軸相等．則可設雙曲線方程為.因為雙曲線過點，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為.

(2)證明：不妨設F1，F2分別為左、右焦點，則， 所以，因為M點在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.

(3)的底.由(2)知.所以的高，所以