Question

【題目】已知拋物線，過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點，滿足.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點的坐標為，記直線、的斜率分別為，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去，利用韋達定理并結合條件可求出實數的值，由此得出拋物線的方程；

（2）由（1）得出直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯立，并列出韋達定理，利用斜率公式結合韋達定理得出關于的表達式，可得出的最小值.

（1）因為直線過焦點，設直線的方程為，

將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得，

所以有，，，因此，拋物線的方程；

（2）由（1）知拋物線的焦點坐示為，設直線的方程為，

聯立拋物線的方程，所以，，

則有，，

因此

.

因此，當且僅當時，有最小值.