Question

已知數列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的通項公式是a_n=n+2，數列{a_nb_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：由 b₁+b₃=5，b₁b₃=4及b_n+1＞b_n，求b₁，b₃，根據等比中項可求b₂，進而可求等比數列的公比及通項公式
（2）由（1）可得a_nb_n=（n+2）•2^n-1，結合數列的特點考慮利用錯位相減求數列的和

解答：解：（1）由 且b₁+b₃=5，b₁b₃=4． 知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根b₁，b₃
注意到b_n+1＞b_n得b₁=1，b₃=4．…（2分）
∴b₂²=b₁b₃=4得b₂=2．∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
等比數列{b_n}的公比為

b2

b1

=2，∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1…（4分）
（2）a_nb_n=（n+2）.2^n-1
所以S_n=3.2⁰+4.2¹+5.2²+…+（n+2）.2^n-1，…（6分）
2S_n=3.2¹+4.2²+5.2³+…+（n+2）.2ⁿ，…（8分）
兩式相減得-S_n=3.2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-（n+2）.2ⁿ，
=3+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+2).2n
所以S_n=（n+1）.2ⁿ-1．…（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式的應用，數列求和的錯位相減的應用，考查學生的運算能力．