Question

已知數列{b_n}前n項和Sn=

3

2

n2-

1

2

n，數列{a_n}滿足a_n³=4^-（b_n+2）（n∈N*），數列{c_n}滿足c_n=a_nb_n
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用b_n=

S1，當n=1時 Sn-Sn-1，當n≥2時

，即可求得通項b_n，進而求得通項a_n．
（2）先求得c_n，進而利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）①n=1時，b1=S1=

3

2

×12-

1

2

×1=1，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=

3

2

n2-

1

2

n-[

3

2

(n-1)2-

1

2

(n-1)]=3n-2，上式對于n=1時也適合，
∴數列{b_n}的通項公式b_n=3n-2；
②由①可知，an3=4-(bn+2)=4^-3n，∴an=4-n，
∴數列{a_n}的通項公式an=4-n．
（2）由題意和（1）可知：cn=(3n-2)×4-n，
∴T_n=1×

1

41

+4×

1

42

+7×

1

43

+…+(3n-5)×

1

4n-1

+(3n-2)×

1

4n

，

1

4

×Tn=1×

1

42

+4×

1

43

+…+(3n-5)×

1

4n

+(3n-2)×

1

4n+1

，
∴

3

4

Tn=

1

4

+3×

1

42

+3×

1

43

+…+3×

1

4n

-(3n-2)×

1

4n+1

=

1

4

+3×

1 42 ×(1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-(3n-2)×

1

4n+1

，
∴T_n=

1

3

+

1

3

×(1-

1

4n-1

)-(3n-2)×

1

4n+1

=

2

3

-

1

3×4n-1

-(3n-2)×

1

4n+1

．

點評：本題考查了已知數列的前n項和求通項及利用錯位相減法求數列的前n項和，掌握方法是解題的關鍵．