Question

（文科） 在數列{a_n}中，如果對任意n∈N⁺都有

an+2-an+1

an+1-an

=p（p為非零常數），則稱數列{a_n}為“等差比”數列，p叫數列
{a_n}的“公差比”．
（1）已知數列{a_n}滿足a_n}=-3•2ⁿ+5（n∈N⁺），判斷該數列是否為等差比數列？
（2）已知數列{b_n}（n∈N⁺）是等差比數列，且b₁=2，b₂=4公差比p=2，求數列{b_n}的通項公式b_n；
（3）記S_n為（2）中數列{b_n}的前n項的和，證明數列{S_n}（n∈N⁺）也是等差比數列，并求出公差比p的值．

Answer 1

分析：（1）把數列{a_n}的通項a_n=-3•2ⁿ+5代入定義公式

an+2-an+1

an+1-an

，可證得{a_n}是等差比數列．
（2）由等差比數列的定義知，

bn+1-bn

bn-bn-1

=2（n≥2），得數列{b_n-b_n-1}是等比數列，其通項公式為b_n-b_n-1=2^n-1（n≥2）；用疊加法可得b_n-b₁=…=2ⁿ-2；從而得數列{b_n}的通項公式．
（3）由s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=…=2ⁿ⁺¹-2；代入定義公式

sn+2-sn+1

sn+1-sn

，可證得數列{s_n}是等差比數列，且公差比為2．

解答：解：（1）因為數列{a_n}滿足a_n=-3•2ⁿ+5（n∈N⁺），
所以

an+2-an+1

an+1-an

=

-3•2n+2+5+3•2n+1-5

-3•2n+1+5+3•2n- 5

=2（n∈N⁺）；
所以，數列{a_n}是等差比數列，且公差比p=2．
（2）因為數列{b_n}是等差比數列，且公差比p=2，
所以，

bn+1-bn

bn-bn-1

=2（n≥2），即數列{b_n-b_n-1}是以（b₂-b₁）為首項，公比為2的等比數列；
b_n-b_n-1=（b₂-b₁）•2^n-2=2^n-1（n≥2）；
于是，b_n-b_n-1=2^n-1，b_n-1-b_n-2=2^n-2，…，b₂-b₁=2；
將上述n-1個等式相加，得
b_n-b₁=2+2²+2³+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ-2；
∴數列{b_n}的通項公式為b_n=2ⁿ（n∈N⁺）．
（3）由（2）可知，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2；
于是，

sn+2-sn+1

sn+1-sn

=

2n+3-2-2n+2+2

2n+2-2-2n+1+2

=2（n∈N⁺）；
所以，數列{s_n}是等差比數列，且公差比為p=2．

點評：本題以新定義公式為載體，考查了等比數列的通項公式，前n項和公式的靈活應用；也考查了一定的計算能力，是中檔題．