Question

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過(guò)元）：

消費(fèi)金額（單位：百元）
頻數(shù)

由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問(wèn)卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng).規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第格、第格、第格、…、第格共個(gè)方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動(dòng)一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動(dòng)兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)成功”，并贈(zèng)送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認(rèn)為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎(jiǎng)勵(lì)，活動(dòng)結(jié)束.

①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；

②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】；①證明見解析；②闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率，理由見解析.

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)算出，由服從正態(tài)分布，算出概率，即，進(jìn)而算出的數(shù)學(xué)期望；

①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，即棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為.所以.即，進(jìn)而求證當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；②由①知，，，，，得，所以，算出相應(yīng)概率判斷出闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.

解：

，

因?yàn)?/span>服從正態(tài)分布，所以.

所以，

所以的數(shù)學(xué)期望為.

①棋子開始在第格為必然事件，.

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.

棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

棋子先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為；

棋子先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為，

所以，

即，且，

所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.

②由①知，，，，，

以上各式相加，得，

所以.

所以闖關(guān)成功的概率為，

闖關(guān)失敗的概率為.

，

所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.