Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合圖像得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）不等式可化為，記，證得即可.

詳解：(1)由題，，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，∴有極大值.

且當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以，當(dāng)或時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，沒有零點(diǎn).

(2)由(1)可知，.①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，記，得.

設(shè)，則，

∴在上單調(diào)遞增，又，，在上圖象是不間斷的，

∴存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，∴當(dāng)時(shí)，，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，，在上遞增，

∴當(dāng)時(shí)，有極小值，即為最小值，，

又，所以，所以.

又，∴，∴，

所以，，即.

②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，

∴在上單調(diào)遞減，∴，

所以，

綜上所述，.