Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間；

（2）設，求函數在區間上的最小值；

（3）某同學發現：總存在正實數，，使，試問：該同學的判斷是否正確?若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為， ；（2）時，；若時，．（3）正確，的取值范圍為．

【解析】

（1）先確定函數定義域，再利用導數，可求函數的單調區間；

（2）根據在上單調遞增，在上單調遞減，結合函數定義域分類討論可求出函數在區間上的最小值；

（3）的取值范圍為，根據在上單調遞增，在上單調遞減，結合函數圖象即可求得．

解（1）定義域，，

令，則，

當時，，所以單調增區間為；

當時，，所以的單調增區間為；

（2）由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，所以

當時，即時，在上單調遞增，

所以．

當時，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，由于，

若時，；

若時，．

當時，即時，在上單調遞減，

所以，

綜上得：若時，；

若時，；

（3）正確，的取值范圍為．

注：理由如下，考慮幾何意義，當時，，

由于在上單調遞增，在上單調遞減，

所以的圖象大致如下圖所示，

所以總存在正實數，且，使得，即，即．